[分享]线性系统稳定的充分必要条件

jyq1974

　　3.2.1 状态空间模型

　　考虑连续线性定常系统的齐次状态方程

　　(3.2.1)

　　系统原有的平衡状态为 。由于扰动产生初始状态 ，则系统的运动轨迹为

　　(3.2.2)

　　如果对于任意初始状态 ，由它所引起的响应

　　(3.2.3)

　　则按照李亚普诺夫定义，称系统是渐近稳定的。

　　对于(3.2.1)式的系统，如果采用由系数矩阵A的特征向量构成的变换矩阵P对系统作线性变换，即令 ，则有

　　(3.2.4)

　　由线性代数理论可知， 或者为对角线矩阵或者为约当标准形矩阵，其对角线元素为A的特征值，即特征方程

　　(3.2.5)

　　的根

　　新方程的解为

　　(3.2.6)

　　则原方程的解为

　　(3.2.7)

　　如果 的对角线矩阵，显然，状态向量 的各分量 ， 、 均为 、 、…、 的线性组合。如果 是当标准形矩阵，比如有m重特征值 则各分量中相应地会出现 、 、 、…、 的线性组合项。无论上述何种情况发生，只有当A的特征值 具有负实部时，系统才能渐近稳定，即有

　　(3.2.8)

　　因此，我们有如下结论：

　　一个连续线性定常系统，渐近稳定的充分必要条件是：它的系数矩阵A的特征值全都具有负实部。

　　如果系数矩阵存在正实部的特征值，那么其对应的动态响应分量必然随着时间的增长而趋于无穷大，系统将不稳定。

　　如果系数矩阵A存在实部为零的特征值, 那么其对应的动态响应分量会随着时间的增长而趋于常数值(或等幅振荡)。根据李亚普诺夫定义，系统将是稳定的。在控制理论中把这种稳定称为临界稳定，说明系统稳定处于临界状态。临界稳定的系统工作起来是不可靠的，因为系统参数稍有变化，系统就会脱离临界状态，或者渐近稳定,或者不稳定。因此，在实际系统中，习惯把临界稳定看成是不稳定，而把渐近稳定称为稳定。这一点与李亚普诺夫定义有所不同。

　　由此可见，在连续线性定常控制系统中，系统稳定的充分必要条件是：它的特征值都在复平面的左半开平面内，见图3.6(所谓开平面就是不包括虚轴)。如果有一个特征值在平面的右平闭平面内(所谓闭平面就是包括虚轴)，则系统不稳定。

　　
　　

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　　3.2.2 输入输出模型

　　当控制系统用输入输出模型(微分方程或传递函数)描述时，由3.1节的例3.1可以看出，系统的稳定与否完全取决于其微分方程的特征方程的根。如果特征方程的全部根都具有负实部, 则系统是稳定的。如果特征方程的各根中即使只有一个根是正实数 ，或者只有一对根是实部为正的共轭复数 。则微分方程的解中将相应地出现诺如 或者 的项，其中 ， 。当 增大时,这些对应项的幅度将不断增大，因而这样的系统是不稳定的。由于我们在讨论稳定性时，是基于系统输入输出模型而进行的，只考虑了系统输出值在输入量消失后是否收敛到有限值，因此，把这种稳定性称为输入输出稳定性的。我们有如下结论：

　　一个连续线性定常系统输入输出稳定的充分必要条件是：它的微分方程描述的特征方程的根全都具有负实部(即都位于复平面的左半部内)。

　　如果特征方程在复平面的右半部没有根，但在虚轴上有根，则称系统是输入输出临界稳定的。

　　由于线性系统的微分方程描述的特征方程就是其传递函数描述G(s)的特征方程。因此，上述结论即为：

　　一个连续线性定常系统输入输出稳定的充分必要条件是：它的传递函数的特征根(即传递函数的极点)都位于复平面的左半部。

　　以上我们分别介绍了连续线性定常系统的渐近稳定性和输入输出稳定性的概念以及充分必要条件，那么这两种稳定性是否等价呢?回答是：如果一个系统渐近稳定的，则它一定是输入输出稳定的;反之，则不一定。

　　事实上，如果系统的状态空间描述为

　　(3.2.9)

　　并且系统是渐近稳定的，则当 时，必有

　　成立，即系统是输入输出稳定的。

　　例3.2 判断系统

　　



　　的稳定性

　　解 因为

　　系统的特征值为 ，系统不是渐近稳定的。但是，由于

　　传递函数 的极点s=-1，因此系统是输入输出稳定的。

　　例3.3 判断系统

　　



　　的稳定性

　　解 因为

　　系统的特征值为 ， ，系统是渐近稳定的。又由于

　　传递函数 的极点s=-1，因此系统是输入输出稳定的。

　　从上面的两个例子可以看出，当传递函数 的极点只是系统特征值的一部分时，如果系统是输入输出稳定的，它就不一定是渐近稳定的了。

　　系统的渐近稳定蕴含了它的输入输出稳定;反过来，系统的输入输出稳定并不蕴含它的渐近稳定。因此，渐近稳定要比输入输出严格，只有渐近稳定才能说系统是真正稳定的。一个输入输出稳定的系统不一定能正常工作，因为它的内部状态幅值可能不断增长，而使得一些元器件饱和(甚至损坏)，系统变成非线性的。因此，如果只用传递函数的极点来判断系统的稳定性，就有可能导致错误。

　　那么在什么情况下，系统的输入输出稳定等价于渐近稳定呢?回答是：如果一个系统可以由其传递函数完全表征时，输入输出稳定蕴含了渐近稳定。何为完全表征呢?对于单输入单输出系统而言，如果系统的传递函数是一个不可约的真有理函数，并且它的特征方程的阶次正好等于系统状态方程的维数,则称该系统是可以由其传递函数完全表征。此时，传递函数的极点完全等于系统的特征值，而且状态空间描述为系统的最小实现。

　　例3.4 系统

　　



　　是否由其传递函数完全表征?并判断它的稳定性。

　　解 系统的传递函数为

　　其特征方程为二阶的，与状态方程的维数相同，故此传递函数可以完全表征系统，并且由于特征根 ， ，故系统是渐近稳定的。

　　例3.5 图3.7所示系统是否由其传递函数完全表征?并判断它的稳定性。

　　



　　图3.7 不能完全表征的系统

　　解 系统的闭环传递函数为

　　这是一个四阶系统。在求 的过程中， =1的极点被消去了，故系统不能由 完全表征。由于 的三个极点都具有负实部，所以系统是输入输出稳定的。但由于消去的极点是不稳定极点，因此系统不是渐近稳定的。

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　　3.2.3 离散控制系统

　　当线性系统用离散时间数学模型表述时，我们通常采用差分方程、脉冲传递函数和离散状态方程表描述。离散控制系统稳定性的定义与连续控制系统稳定性的定义相类似，研究其稳定性的方法亦相同。

　　若给定离散线性定常系统的齐次状态方程为

　　(3.2.10)

　　采用由系数矩阵 的特征向量构成的变换矩阵 对系统价线性变换，即令 ，则有

　　(3.2.11)

　　和

　　其中， 或者为对角线矩阵或者为约当标准形矩阵。其对角线元素为 的特征值，即特征方程

　　(3.2.12)

　　的根 。

　　新方程的解为

　　(3.2.13)

　　原方程的解为

　　(3.2.14)

　　如果 为对角线矩阵，显然，状态变量 的各分量 、 、…、 均为 的线性组合。如果 是约当标准形矩阵，比如有 重特征根 ，则各分量中相应出现 的线性组合项。无论上述何种情况发生。根据系统稳定性的定义，如果需要 时， ，那么只有 的所有特征值满足

　　(3.2.15)

　　即其幅值均小于1时才有可能。因为此时必有

　　或

　　成立。

　　因此，我们有如下结论：

　　一个离散线性定常系统渐近稳定的充分必要条件是，它的系数矩阵 的特征值全都在Z平面以原点为中心的单位圆内(见图3.8)

　　



　　图3.8 Z平面上的稳定域

　　如果系统有一个特征值在Z平面的单位圆外，系统就不稳定。如果有一个特征值恰好在Z平面的单位圆上，则系统处于临界稳定。在实际中通常认为临界稳定是不稳定。

　　同样，我们可以得到关于离散线性定常系统输入输出稳定的结论：

　　一个离散线性定常系统输入输出稳定的充分必要条件是：它的脉冲传递函数的特征根(即脉冲传递函数的极点)全部在Z平面以原点为中心的单位圆内。

　　以上结论除了可以从差分方程的通解得到外，还可以很容易证明。由2.3节可知，当采样开关和信号保持器满足香农采样定理时，线性系统传递函数 与其对应的脉冲传道函数 之间有着简单的映射关系。

　　(3.2.16)

　　其中,T为采样步距。由(3.2.16)式可知，如果系统的传递函数 的所有极点均位于 平面的左半部，则其对应的脉冲传道函数 的所有极点均位于Z平面上的原点为中心的单位圆内。事实上，由(3.2.16)式，我们有

　　在S平面的左半部， ，因而z的量值在0-1之间变化，故S平面的左半部对应于Z平面的单位圆内;S平面的虚轴，即 ,对应于Z平面上的单位圆;而S平面的右半部，则对应于Z平面上的单位圆外。

　　与连续系统类似，离散系统的渐近稳定蕴含了它的输入输出稳定。反过来，系统的输入输出稳定性并不蕴含它的渐近稳定。只有当离散系统可以由其脉冲传递函数完全表征时，输入输出稳定才等价于渐近稳定。

　　例3.6 判断系统

　　的稳定性

　　解 因为

　　系统的特征值为 ，因此系统不是渐近稳定的。事实上，状态量 处于等幅振荡。而由于

　　故系统是输入输出稳定的。

心灯

　　

谢谢上面的网友。
上面部分公式显示不全，找到了上面原文出处：东南大学的一个网上课件 《自动控制原理》
http://automation.seu.edu.cn/ac1/index.htm

以后有时间的时候可以考虑全部保存下来，做成电子书，然后共享之。网页上浏览还是麻烦的，呵呵。