向各位高手求教：自激振动及非线性微分方程组数值解的问题

pierre69

请各位高手帮忙看一下以下的非线性微分方程组：

y''+ax''+y=F               （1）
ay''+bx''+cx'+dx*x=F      （2）
z+ex+x'+y'=0             （3）

其中y'、x'等导数是对时间的导数；x、y、z 是变量；a、b、c、d、e 是系统常数；F 是定常力。x*x 表示 x  变量的平方。

想请教一下各位高手两个问题：

  A。这个微分方程组表示的系统振动是否能看作是自激振动？为什么？
  B。如想用四阶Runge-Kutta方法获得其数值解，应该怎样将其化为相应的一阶微分方程组？（我的问题在于不知如何处理 z 变量）

望各位高手赐教，不胜感激！！

[ 本帖最后由 pierre69 于 2007-3-4 11:55 编辑 ]

jhymv

B .不知道你用哪种计算机语言计算,可以尝试x=x1,x'=x2,y=x3,y'=x4,z=x5,则可把该方程组变成五个一阶方程组,用MATLAB编程求解比较简单;如果应用符号运算功能,应该可以直接求解这个非线性方程组.
A.该方程组有能量耗散项cx',但看不出能量输入项,做一下数值仿真再判断,c取负值试一下(3式中x'系数为+1).:handshake

pierre69

非常感谢jhymv这位朋友的热心解答！
我是最近才涉及有关这方面的专业知识的，问的问题可能会比较幼稚，让各位高手见笑了。感谢各位高手的耐心帮助和赐教。

我还想请教jhymv这位朋友及其他高手以下几个问题：

A. 我是准备用matlab中的ode45函数加上简单的编程，对这个方程组进行数值求解。不知这是否就是jhymv这位朋友所建议的方法？

B. 我印象中，如用Runge-Kutta方法，所化成的相应的一阶微分方程组应该具有[ X ' ]=[A][X]+[B]的形式，其中[X]=[x1,x2,x3,x4,x5]，[A]和[B]是常系数矩阵。
那么，一阶方程组中应该有关于x5'（也就是z'）的表达式。不知我的理解是否正确？如果是这样，由于原方程组中并没有 z 的导数项，在一阶微分方程组中该如何得到有关 z 的导数的表达式，并将一阶方程组化为上述的形式呢？

C. 另外我对自激振动的概念不是很清楚，不理解什么样的项才能算作“能量输入项”（方程组中的定常力 F 是否可看作能量输入项？为什？）；也不知该如何从数值仿真结果进行判断（判断依据）以及为什么要“c取负值试一下”？

D. 一个典型的描述自激振动德微分方程（组），其通常的形式应是怎样的，含有哪些典型项？

这些问题也许会贻笑大方了，不过还是恳请jhymv这位朋友及其他高手不吝赐教，非常感谢！:@)

[ 本帖最后由 pierre69 于 2007-3-6 05:10 编辑 ]

gghhjj

A. 我是准备用matlab中的ode45函数加上简单的编程，对这个方程组进行数值求解。不知这是否就是jhymv这位朋友所建议的方法？

是的

B. 我印象中，如用Runge-Kutta方法，所化成的相应的一阶微分方程组应该具有[ X ' ]=[A][X]+[B]的形式，其中[X]=[x1,x2,x3,x4,x5]，[A]和[B]是常系数矩阵。
那么，一阶方程组中应该有关于x5'（也就是z'）的表达式。不知我的理解是否正确？如果是这样，由于原方程组中并没有 z 的导数项，在一阶微分方程组中该如何得到有关 z 的导数的表达式，并将一阶方程组化为上述的形式呢？

可以假设x5'=z试一下

C. 另外我对自激振动的概念不是很清楚，不理解什么样的项才能算作“能量输入项”（方程组中的定常力 F 是否可看作能量输入项？为什？）；也不知该如何从数值仿真结果进行判断（判断依据）以及为什么要“c取负值试一下”？

D. 一个典型的描述自激振动德微分方程（组），其通常的形式应是怎样的，含有哪些典型项？

这两个问题建议看一下范德波尔方程，这是最典型的自激振动的例子